salve,sono possessore di questo router, MR-3420 della tp link,
qualcuno mi sa dire se è possibile implementare le prestazioni,modificando il firmaware?

Il TP link MR3420 sembra compatibile confirmware DDWRT per la versione 1.X mentre risulta negativo con la2.x
http://dd-wrt.com/site/support/router-database
inserire marca tp link e cercare il modello.
Diversamente conOpenwrt sembra ci siano versioni anche per la v2.x
http://wiki.openwrt.org/toh/tp-link/tl-mr3420

Da capire cosa vorresti implementare che il firm originale già non ti permetta.
Tra le altre cose ha anche le antenne sostituibili se dovesse servire.

Voi che firmaware mi consigliate,qualora sia buona cosa aggiornarlo?
Un'antenna potrei sostituirla anche con una di queste da esterno(come la TP-LINK TL-ANT2409A Antenna Direzionale 2.4 GHz 9dBi )per aumentare la ricezione del segnale del wireless dall'appartamento di mio cugino e poterlo espandere in casa mia con il MR 3420?
Grazie.

Non mi sembra una buona cosa aggiornarlo rispetto ai tuoi scopi.
Mi pare sia un router anche 3g-4g ...nel caso (mai visto in vita mia) ,...valuta, previo studio sui link indicati se il cambio di firmware porti qualche vantaggio nei termini del tuo uso, ...sopratutto anche medita se sei in grado di fare la procedura senza brikkare.
Purtroppo non avendo avute esperienze dirette col tuo modello posso indicarti la via ...pur accidentata che sia.
Io lo terrei come router wifi home, collegato (via cavo lan) ad altro apparecchio con antenna in esterno che si connetta degnamente col cugino...se non sufficiente ci vuole di far la stessa cosa dal cugino con altro apparecchio ...sta volta sarà in modalità Access Point.
Cerca di leggere sul web ....non possiamo farlo per te , ma siamo qui per ogni passo da commentare e consigliarti.

lo terrei come router wifi home, collegato (via cavo lan) ad altro apparecchio con antenna in esterno che si connetta degnamente col cugino.

che tipo di apparecchio parli?

sottoscrivo quanto indicato da asso e wifipassion: aggiungo che espandere una rete wifi col repeating oltre ad avere problemi di banda e con la cifratura del traffico, rende problematico l'uso di antenne direttive (ma se cerchi sul forum repeating assieme al mio nick saprai la mia opinione più approfonditamente).
Non sapendo DOVE è la rete del cugino (www.youtube.com/watch?v=AFW81wHXcbE ) non è possibile essere più precisi su una possibile soluzione.

buoni cugini a tutti :-)